Pero, ¿qué es ajax?

Según wikipedia (fuente confiable por excelencia en internet).

http://www.wikiwand.com/en/Ajax_(programming)

Básicamente lo que dice es que ajax, por el contrario de lo que al principio podrás creer, no es lenguaje de programación sino una técnica usada para crear aplicaciones web asíncronas. La palabra "asíncrona" significa que el navegador no necesita recargar el sitio, o volver a visitar el servidor, o hacer un nuevo requerimiento de información (request) para obtener más datos.

Para realizar este método, lo puedes hacer tomando nota de lo siguiente:

• Haciendo uso de un framework
• Codificándolo por tus propios medios

Sinceramente, y no es porque sea difícil, no es necesario codificar todo desde cero, es mejor hacer uso de algún framework pues llegarás a la misma Roma pero en menos tiempo.

Los diferentes framework que tenemos para esto son:

• jQuery

Para hacer ajax con jQuery, haz lo siguiente:

$.ajax({
 url: "http://fiddle.jshell.net/favicon.png",
 beforeSend: function( xhr ) {
   xhr.overrideMimeType( "text/plain; charset=x-user-defined" );
} })
.done(function( data ) {
  if ( console && console.log ) {
    console.log( "Sample of data:", data.slice( 0, 100 ) );
  }
});

• Vanilla

Para usar ajax con Vanilla, debes usar:

var r = new XMLHttpRequest();
r.open("POST", "path/to/api", true);
r.onreadystatechange = function () {
  if (r.readyState != 4 || r.status != 200) return;
  alert("Success: " + r.responseText);
};
r.send("banana=yellow");

• MooTools

Para usar ajax con MooTools, sólo debes hacer lo siguiente:
var myRequest = new Request({
 url: 'image.jpg',
 onProgress: function(event, xhr){
   var loaded = event.loaded,
   total = event.total;
   console.log(parseInt(loaded / total * 100, 10));
}
});
myRequest.send();